yr = -[l + e-cos((?-<?o)l (22.14)

где A,B,e,iQ - произвольные постоянные интегрирования.

Выражение (22.14) представляет собой уравнение конического сечения с эксцентриситетом е и фокальным параметром р = С 1\х., фокус которого совпадает с притягивающим центром. Таким образом, получен обобщенный первый закон Кеплера, так как в зависимости от эксцентриситета орбиты небесных тел могут быть не только эллиптического (г < 1), но и параболического (е = 1) и гиперболического{е>\) видов.

Если в формуле р = Ь 1а = Сl{fM) константу С выразить, согласно (22.11), через период Г обращения планеты, то получим

а ц

откуда следует третий закон Кеплера

- = const.

Конкретный вид орбиты, определяемый выражением (22.14), зависит от значений постоянных интегрирования ей фо, т. е. от начальных условий. Надлежащим выбором положения полярной полуоси всегда можно обеспечить фо = О. Для этого следует провести полярную полуось через точку Р орбиты, ближайшую к притягивающему центру О, которая называется перицентром. Положение этой точки заранее не известно и подлежит определению по начальным условиям.

22.3. Энергетическая классификация орбит

Рассмотрим движение материальной точки, масса которой т, под действием силы тяготения (22.12). Если начальное расстояние R точки от центра О задано (здесь R - расстояние до пери-

центра), то вид ее орбиты будет определяться начальной скоростью Vq . Для доказательства этого факта найдем зависимость между эксцентриситетом орбиты и значениями R и Vq, Потенциальная энергия поля силы тяготения, согласно (22.12),

n(r) = -lF,(r)dr = l = -m/rC, , где константа интегрирования С, = О, так как при г -> оо

Разделив в выражении (22.8) все члены на массу т и учитывая (22.9), представим интеграл энергии в виде

=2Li/r + А =-(1 + со8ф) +А, Р

где h - константа энергии, h = lhjm = vl -2\i/R.

Подстановка же (22.9) в первую формулу Бине дает

= -(1 + 2С08ф + г).

Приравнивая правые части полученных выражений и учитывая, что р = С 1\х получаем

г. = 1 + (С/ц)2А. (22.15)

Из равенства (22.15) следует, что при h = VQ -2/R = 0 г = 1, т. е. орбита имеет вид параболы. Скорость Vq = yl2/R называется параболической, или второй космической v,j, и представляет собой наименьшую скорость, которую нужно сообщить точке, находящейся в перицентре (на расстоянии R от точки О), чтобы она удалилась на сколь угодно большое расстояние от центра тяготения О. Для условий Земли (/?з = 6370 км)

v = д/2цз /Лз = pgR = 11,2 км/с.

При Vq <v константа энергии А<О, в этом случае е<\ и орбита будет эллиптической; скорости, удовлетворяющие этому неравенству, называются эллиптическими. При > v константа h>0 и орбиты будут гиперболическими ( > 1).

Для случая круговой орбиты (е = 0) константа площадей С = Rvq . Подставив эти значения в (22.15), получим

= (l-Rvl/iiy=0,

откуда следует, что скорость движения точки по круговой орбите, или первая космическая скорость

Для условий Земли Vj = [i/R = JgR = v /л/2 = 7,9 км/с.

22.4. Движение точки по орбите

Для окончательного решения задачи, т. е. для определения закона движения точки по орбите, воспользуемся интегралом площадей, представив его в виде

dt~ г

Заменив согласно (22.9) в этом уравнении г, получим

С (1+С08ф)

откуда

С J(l+cos9)

где tQ - момент времени, когда точка проходит через перицентр.

В случае эллиптической орбиты для вычисления интеграла выполняют следующие подстановки: tg(9/2) = jc, tg(E/2) = kx,

где =(\ -г)/(1 + г), что приводит к уравнению, известному в небесной механике как уравнение Кеплера

E-esm(E) = 2n(t-tQ)/T.