(В.12)

Таким образом, сумма п векторов есть вектор, который изображается замыкающей стороной векторного многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Замыкающий вектор направлен от начала первого вектора к концу последнего.

Сумма п векторов обладает также свойством коммутативности.

На рис. В.8 видно также, что сумма п векторов обладает и свойством сочетательности (ассоциативности):

= (а, +з) + (Л+.- + Л-1) + Л-

Таким образом, построение векторного многоугольника можно осуществить, складывая векторы а,А2,.. а в любом

порядке, в любых сочетаниях.

Если векторный многоугольник оказался замкнутым (т. е. конец последнего из слагаемых векторов совпадает с началом первого), то сумма векторов равна нулю:

Разностью двух векторов и 5 называется вектор, полученный от сложения векторов а v\ - В (рис. 8.9) 1-5=1 + (-5).

Видно, что сумма векторов а-\- В есть одна диагональ параллелограмма, построенного на векторах а и В , а, разность - другая его диагональ.

Рис. в.9

Чтобы определить модуль и направление вектора S вида (В. 12), воспользуемся аналитическим способом сложения векторов. Пусть нужно сложить п векторов A,A2,...,Ai,A , где А, = = Aii + Aj + А,Л (/ = 1,2,..., ). Складывая эти векторы, согласно (В. 12), получаем

Здесь

ri II II

k. (B.13)

(B.14)

Согласно (В.5),

(B.15)

a направление вектора S определяется с помощью направляющих косинусов из выражений, аналогичных (В.6).

В.5. Умножение векторов

В векторном исчислении различают два вида произведений векторов: скалярное и векторное.

Скалярное произведение двух векторов А и В есть скалярная величина, равная произведению модулей А и В этих векторов

на косинус угла (А ,В) между ними:

I-5=5cos(I5)0,

(В. 16)

- - -- тс - тс -А

где АВ>0, если 0<А,В< - ,иАВ<0, если -<А,В<п.

Как показано на рис. В.Ю, скалярное произведение двух векторов можно еще рассматривать как произведение модуля одного вектора на проекцию на него другого вектора:

АВ=В(А cos а) = А(В cos а).

(В. 17)

Из соотношений (В. 16), (В. 17) следует:

1) скалярное произведение двух векторов обладает свойством коммутативности, т. е.

АВ=ВА; (В.18)

2) скалярное произведение векторов обладает свойством распределительности относительно суммы векторов, т. е.

{А+В)С=АС+ВС=СА + СВ; (В.19)

3) при умножении вектора на скалярную величину имеет место сочетательный закон:

тАпВтпАВ. (B.20)

Кроме того, из (В. 16) следует, что

cos(I,5) = l, АВ=АВ при AttB\

cos(I5) = -l, АВ=-АВ при AtiB;

cos(l 5) = 0, 1-5=0 при А IB;

cos(I5) = l, АВ=А при А=В. Для единичных векторов, согласно (В.22), имеем

i i = у j = k к =1,

(B.21)

(B.22)

(B.23)

3 Зак. 16