осестремительным ускорением точки. Таким образом,

(4.14)

(4.15)

Рис. 4.12

Вектор вращательного ускорения а направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами 8 и г (заштрихованная плоскость на рис. 4.12), так, что с конца его поворот первого вектора до совмещения его со вторым виден происходящим против направления движения часовой стрелки. Модуль вектора

равен

= 8rsin(8 ,r) = 8Ai,

(4.16)

где Л, =rsin(8 , г) - кратчайшее расстояние от точки до линии, вдоль которой направлен вектор углового ускорения 8 в данный момент времени (см. рис. 4.12).

Вектор осестремительного ускорения (см. рис. 4.12), являясь результатом векторного произведения ю и v , перпенди-

кулярен к плоскости, образованной последними, и направлен от точки Мпо перпендикуляру, проведенному из нее на мгновенную ось вращения тела.

Модуль вектора а, учитывая (4.6) и то, что aly , равен

юх V

= covsin(cD, v) = (ov = coA. (4.17)

Итак, ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осе-стремительного ускорений.

Модуль ускорения а равен

al+al+2aa

ос cos(a зр

ос)- (4-18)

Отметим, что формула Ривальса (4.12) напоминает формулу (2.2) для ускорения точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Вращательному и осестремительному ускорениям здесь

соответствуют тангенциальное а=гК и нормальное а =соЛ ускорения.

4.7. Вычисление углового ускорения тела

Для вычисления ускорения произвольной точки тела, вращающегося вокруг неподвижного центра, необходимо знать его угловое ускорение 8. Рассмотрим один из способов его определения.

Если угловая скорость, а значит, и ее проекции со, со, со,

на неподвижные оси координат являются известными функциями времени, то проекции углового ускорения тела на те же оси определяются следующим образом:

d(o d(0 d(o.

ех=-~7; z=-r ( -

dt dt dt

Зная проекции вектора 8, найдем его модуль и направление в пространстве (косинусы тех углов, которые вектор 8 составляет с осями координат).

Если угловая скорость постоянна по модулю, то

8 = = со, X ш, (4.20)

где (0 - угловая скорость дифференцируемого по времени вектора угловой скорости со.

Рассмотрим пример вычисления угловой скорости и углового ускорения тела, а также скоростей и ускорений его точек при вращении тела вокруг неподвижного центра.

Пример 4.2, Правильный конус с углом при Ьершине 2а и высотой Н катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения, при этом вершина О конуса остается неподвижной, а центр С его основания движется по окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, с постоянной скоростью V (рис. 4.13). Найти угловую скорость и угловое ускорение конуса, скорости и ускорения точек А и В его основания.

Рис. 4.13

Решение. Введем неподвижную систему координат Oxyz с началом в точке О конуса и осью Оу, направленной в данный момент по его образующей OA, вдоль которой конус касается неподвижной плоскости.

Поскольку конус катится без скольжения, то скорости всех его точек, лежащих на образующей OA, равны в данный момент нулю. Следовательно, мгновенная ось вращения конуса совпадает с образующей OA и направлена вдоль оси Оу.

Установив положение мгновенной оси вращения, найдем модуль мгновенной угловой скорости конуса. Поскольку

vc=(oCD,

где CD = ОС sin а - кратчайшее расстояние от точки С до мгновенной оси, то

CD Я sin а

- = const.