Отметим важное свойство, характерное для общего, а следовательно, и для любого частного случая движения твердого тела. Докажем, что вектор со , а следовательно, и вектор 8 не зависят от выбора точки А в теле и ориентации осей системы по отношению к телу.

Предположим, что при выборе, например, точки В в качестве начала координат системы .S2 (с иным направлением осей по отношению к телу) угловая скорость со, изменения ориентации тела отлична от со . Воспользуемся закономерностью (5.5) для различных случаев выбора начала координат системы .S2. Если начало координат системы IS2 находится в точке А, то = + со X 5, если же в точке 5, то = Vj + х ВА, Суммируя эти равенства для одного и того же момента времени, приходим к следующему условию:

О = (со - со,) X 5.

Поскольку А и В - произвольные точки тела, это условие выполняется лишь при 00 = (О, .

5.4. Ускорение произвольной точки тела

Отметим, что по уравнениям движения (5.2) можно рассчитать проекции вектора ускорения точки А на оси координат системы Sq :

Ах =/j; Ау =Уа Az = А

а также проекции вектора углового ускорения сферического движения тела относительно системы 5, на оси координат системы .S2:

х-х 8у.=с0у.; 82=03.

Дважды продифференцировав по времени уравнение (5.3), получим

а=а+АВ.

Так как вектор АВ жестко связан с твердым телом и его модуль постоянен, вторая производная вектора АВ по времени может быть вычислена по формуле Ривальса (4.12):

5 = 8 X 5 + со X (со X АВ).

Тогда

a,=a,+aZ+a (5.6)

где а1=гхАВ и = шх(сохАВ) - соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки В при ее движении вокруг точки А вследствие сферического движения тела относительно системы координат . При известном законе движения тела (см. (5.2)) формула (5.6) позволяет рассчитать ускорение произвольной точки В тела для любого момента времени на заданном интервале.

Обратим внимание на математическую особенность применения уравнений (5.5) и (5.6), правые части которых представляют собой суммы векторов. При геометрическом суммировании этих векторов не возникают какие-либо методические трудности, однако при выполнении аналитических расчетов вручную или с помощью компьютера к операции сложения векторов следует отнестись неформально. Математическая операция аналитического сложения векторов предполагает, что складываемые векторы заданы своими проекциями на оси координат одной и той же системы.

Согласно принятым обобщенным координатам и закону движения тела (5.2) векторы и а были заданы проекциями на оси системы Sq. В таком случае в формулах (5.5) и (5.6) остальные (прибавляемые) векторы должны быть также представлены в виде проекций на оси системы Sq . Следует иметь в виду, что во многих задачах динамики свободного движения твердого тела векторы со и ё обычно предполагаются заданными своими проекциями на оси подвижной системы .Sj, так как в этой системе осевые и центробежные моменты инерции тела постоянны. Поэтому в этих случаях при применении формул (5.5) и (5.6) сначала рассчитывают проекции векторов, являющихся результатами произведений со х 5, гхАВ, со х (ш х АВ) на оси системы

Sj (как указывалось выше, в этой системе координат вектор АВ предполагается заданным в форме вектора р), а затем с помощью соотношения (В.72) - на оси системы Sq .

Глава 6 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

бЛ. Относительное, переносное и абсолютное движения точки

В ряде задач механики оказьшается целесообразным рассмотрение движения точки одновременно в нескольких системах координат, из которых одна (основная) условно принимается за неподвижную, а другие определенным образом двияптся относительно нее. Так, движение космического корабля к Луне нужно рассматривать одновременно и относительно Земли, и относительно Луны. Движение точки, исследуемое одновременно в основной и подвижной (подвижных) системах отсчета, назьшается сложным. В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения.

Рассмотрим сложное движение точки А/, перемещающейся по отношению к подвижной системе OXYZ (рис. 6.1), связанной с некоторым телом которое в свою очередь совершает свободное движение по отношению к основной, условно неподвижной системе Oxyz,

Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz называется абсолютным, или сложным, состоящим из относительного движения по отношению к подвижной системе OXYZ и переносного - движения подвижной системы отсчета OXYZ по отношению к неподвижной системе Oxyz,

Положение точки Мвдеподвижной системе Oxyz зададим векто-

ром r{t) С началом в точке О, Тогда абсолютная траектория MqM точки Л/является годографом этого радиус-вектора f{f), а абсолютные скорость и ускорение точки Мопределяются выражениями

- dr dv dr

v= -; а--= -(6.1)

dt dt dt -