в правой части уравнения (6.8) первые три слагаемые выражают локальную производную (6.7), а производные от ортов 7, J 5 К определяются формулами Пуассона (4.11), т. е.

=+ 6;. (© x 7) + ij. (7) + 6 (© x Z) =

5 (6.9)

--+ю x (г> 7+7+6 а:) .

С учетом (6.6) получаем

db db i/чч

-=-H-coxZ>. (6.10)

dt dt

Выражение (6.10) носит название формулы Бура и устанавливает, что абсолютная производная вектора равна сумме локальной производной этого вектора и векторного произведения вектора угловой скорости подвижной системы отсчета на дифференцируемый вектор.

Рассмотрим частные случаи.

1.Если со = 0,то

db db dt dt

2. Если вектор b не меняется в подвижной системе отсчета ,то

--(ОхЬ .

3. Если 6 = А:со , т. е. вектор b все время параллелен вектору угловой скорости (coxZ>=0), то

db db dt dt

В Частности, если 6 = ю , то

dlo ©

т. е. вектор угловой скорости со изменяется одинаково для подвижной и неподвижной систем координат.

6.3. Теорема о сложении скоростей

Зависимость между абсолютной v , относительной v,. и переносной v, скоростями точки в сложном ее движении устанавливает теорема о сложении скоростей.

Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство. Действительно, поскольку для любого момента времени (рис. 6.3)

то, продифференцировав по времени это векторное равенство, получим

dr drff

(6.11)

()

dp dr

и - полные производные, причем - = v есть

абсолютная скорость точки М;

о .-7

= vp, - скорость точки О.

Согласно формуле Бура,

d р d р

(6.12)

Здесь локальная производная = представляет собой отползи

сительную скорость точки М Таким образом,

v=v+v,хр.

Поскольку у М, то, следовательно.

+(охр = - вектор переносной скорости точки

(6.13)

Пример 6.L Точка Л/движется с постоянной скоростью и вниз по образующей конуса, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой скоростью ш (рис. 6.4). Найти зависимость скорости точки М от расстояния s = AqM , если

угол а = 30° .

Решение. Абсолютное движение точки М по отношению к неподвижной системе Oxyz представим в виде суммы двух движений: относительного по образующей AqA конуса (с которым свяжем подвижную систему 0*XYZ) и переносного - вращения конуса вокруг оси Oz. Тогда в произвольный момент времени / точка М, находясь на расстоянии s = AqM от вершины конуса, имеет относительную скорость = = const, направленную сверху вниз по образующей конуса. Переносной скоростью для точки М будет скорость точки А конуса, с которой в этот момент времени совпала точка М: Vg=(oh = (ds sin 30** = ш/2 , где Л - расстояние от точки М до оси вращения. Вектор направлен по касательной к траектории точки А. Поскольку в нашем случае векторы и v,. взаимно перпендикулярны, получаем