Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

Глава 7

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

7.1. Теорема о сложении угловых скоростей при сложном движении твердого тела

Движение твердого тела так же, как и материальной точки, может быть рассмотрено одновременно в нескольких системах координат (см. гл. 6). Пусть одна из них является условно неподвижной, а другая движется относительно первой (рис. 7.1, а). Тогда движение тела относительно неподвижной системы координат (абсолютное движение) можно рассматривать как сложное, состоящее из движения тела относительно подвижной системы координат (относительное движение) и движения вместе с подвижной системой координат как единого целого относительно неподвижной системы координат (переносное движение). Таким образом, сложное движение твердого тела представляется как результат сложения двух движений: относительного и переносного*.

Подобным образом движение твердого тела можно разложить на п составляющих движений при введении в рассмотрение п систем координат, из которых одну принимают условно неподвижной, а движение каждой из последующих определяют относительно предыдущей (рис. 7.1, б).

Теорема. При любом виде переносного и относительного движений твердого тела его абсолютная угловая скорость (в не-

* В этой главе при рассмотрении задач на сложение соответствующих движений рассчитываются лишь угловые скорости тел и скорости их точек в заданный момент времени, считая, что ускорения могут быть определены, исходя из конкретного вида движения (абсолютное, относительное или переносное) твердого тела либо на основании рассмотрения сложного движения точек тела.



подвижной системе координат) равна сумме относительной и

переносной угловых скоростей тела.


Рис. 7.1

Доказательство. Рассмотрим движение твердого тела относительно подвижной системы OXYZ, которая в свою очередь движется относительно неподвижной системы Oxyz (см. рис. 7.1, а). В каждом из рассматриваемых движений твердого тела связь скоростей его точек А и В в любой произвольный момент времени может быть установлена по формулам

v;=v;+v; vb=va+ra (7.1)

где Vf =(ох АВ ; v = со х 5; = со. х 5; ю, , ю,. -

соответственно абсолютная, относительная и переносная угловые скорости движения тела.

Скорости точек А и В могут быть также определены, исходя из теоремы о сложении скоростей точек

V = V о + vt

(7.2)

Из (7.1) и (7.2) последовательно несложно получить

Vq=v+(oxAB,

в =а -ва -Ча =а +с0, х5 + с5, х5. Приравнивая правые части этих равенств, находим



(О X АВ = (О, X АВ + (i) X АВ = (со,. +(0)хАВ.

Так как вектор АВ произвольный, то

со = со,.+ю,. (7.3)

Последнее и требовалось доказать.

В случае п составляющих движения тела, в каждой из которых угловая скорость равна со где / = 1,2,абсолютная угловая скорость тела определится как векторная сумма ее составляющих:

со = 2ю, .

Так как абсолютная угловая скорость тела не зависит от разложения движения на составляющие, то ее можно рассматривать как кинематический инвариант.

1.2. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей

В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О (рис. 7.2), абсолютное движение будет движением твердого тела вокруг неподвижной точки О (сферическим движением) с угловой скоростью, определяемой согласно (7.3). Нетрудно убедиться, что скорости всех точек, лежащих на линии, по которой направлен вектор со, равны нулю. В самом деле, например, скорость находящейся на этой линии точки А тела v = со х г = О (по свойству произведения коллинеарных векторов со и г). Таким образом, прямая, на которой расположен вектор со , является мгновенной осью вращения тела.

Скорость любой точки Мтела в данном случае можно определить так:

у = юхг,

V = V + ,

где V, =(0, хг; = со, хгд,.

Модули составляющих, а также абсолютной скорости точки М равны модулям соответствующих векторных произведений и могут быть вычислены по формулам



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка