Разделы сайта
Читаемое
Обновления Mar-2024
|
Промышленность Ижоры --> Теоретическая механика в.6. Векторы и матрицы Совокупность тхп величин а, записанных в виде таблицы, содержащей т строк и п столбцов, образует прямоугольную матрицу с размерами тхп\ *т] т2 тп, В записи элемента матрицы а, первый индекс указывает номер строки, второй - номер столбца. Компактная запись выражения (В.48) имеет вид А = К,] (/ = 1,2,.А: = 1,2,..., ). (В.49) Равными считаются две матрицы А = В одинакового размера тхп, соответственные элементы которых равны, т. е. =b,k (/ = l,...,/w; Л = 1,..., ). Матрица, у которой т = п, называется квадратной, ее элементы аII (/ = 1,..., ) составляют главную дгилгональ матрицы. Квадратная матрица пхп называется симметричной, если а, =(ki Диагональной называется симметричная матрица, у которой элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: (В.48) О d. О О ... d где d,...,d - любые числа. Если в диагональной матрице d =d2 = ... = d = d, то для любой квадратной матрицы А размером пхп справедливо равенство AD=DA. Если d =d2 = ... = d,.. = 1, диагональная матрица называется единичной и обозначается Е: 1 О О 1 (В.50) О О Тогда справедливы соотношения АЕ=ЕА=А. Таким образом, особая роль единичной матрицы Е аналогична той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, записанных в том же порядке, что и в матрице, называется определителем матрицы и обозначается а а,2 ... а, detA = Для квадратной матрицы А, определитель которой detA отличен от нуля, существует обратная матрица А , такая, что выполняется условие А-А = Е,или АА = Е. Если в выражении (В.48) поменять местами строки и столбцы, получится матрица размерами пхт, которая по отношению к матрице (В.48) называется транспонированной и обозначается А. Симметричная матрица А размерами пхп равна своей транспонированной: А = А\ Сложение и вычитание матриц может быть выполнено с матрицами одинаковых размеров тхп. Суммой (разностью) двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В: С = А±В, (В.52) если с, =а,1 ±А, (/ = l,...,/w; Л = !,..., ). (В.51) 2 Зак. 16 Суммы матриц обладают следующими свойствами: А + В = В + А; А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С. Умножение матрицы на число означает, что каждый элемент этой матрицы умножается на данное число: (/ = l,...,m; Л = (В.ЗЗ) Умножение матрицы А порядка (/w х j!?) на матрицу В порядка (j!? х ) осуществимо лишь тогда, когда число столбцов А равно числу строк В. Тогда матрицы А и В называются конформными, и их произведением С = АВ называется матрица размерами тхп, элемент с, /-й строки и Л:-го столбца которой равен сумме произведений элементов /-й строки матрицы А на элементы Л:-го столбца матрицы В: I, (/ = l,...,/w; А: = 1,..., ). (В.54) Представим теперь вектор А , определяемый совокупностью п величин а а ( -мерный вектор), в виде вектора-столбца (В.55) или матрицы ( W X1). Если компоненты а аз,..., а расположить горизонтально, получим матрицу (1 х п), т. е. I = [a a2,...,aJ\ (В.56) Одномерный вектор есть скаляр. Поскольку все операции над векторами, о которых пойдет речь, можно проводить, лишь пользуясь векторами-столбцами, будем применять термин вектор для величины, заданной формулой (В.55). Трехмерный вектор А , заданный своими проекция\*и на оси декартовой системы координат, имеет компоненты = А, а2 = А = А и записывается в виде
|
© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка |