Разделы сайта

Читаемое

Обновления Mar-2024

Промышленность Ижоры -->  Теоретическая механика 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

в.6. Векторы и матрицы

Совокупность тхп величин а, записанных в виде таблицы, содержащей т строк и п столбцов, образует прямоугольную

матрицу с размерами тхп\

*т] т2 тп,

В записи элемента матрицы а, первый индекс указывает номер

строки, второй - номер столбца. Компактная запись выражения (В.48) имеет вид

А = К,] (/ = 1,2,.А: = 1,2,..., ). (В.49)

Равными считаются две матрицы А = В одинакового размера тхп, соответственные элементы которых равны, т. е.

=b,k (/ = l,...,/w; Л = 1,..., ). Матрица, у которой т = п, называется квадратной, ее элементы аII (/ = 1,..., ) составляют главную дгилгональ матрицы. Квадратная матрица пхп называется симметричной, если а, =(ki

Диагональной называется симметричная матрица, у которой элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю:

(В.48)

О d.

О О ... d где d,...,d - любые числа.

Если в диагональной матрице d =d2 = ... = d = d, то для любой квадратной матрицы А размером пхп справедливо равенство

AD=DA.

Если d =d2 = ... = d,.. = 1, диагональная матрица называется единичной и обозначается Е:



1 О О 1

(В.50)

О О

Тогда справедливы соотношения

АЕ=ЕА=А.

Таким образом, особая роль единичной матрицы Е аналогична той роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел.

Определитель, составленный из элементов квадратной матрицы, записанных в том же порядке, что и в матрице, называется определителем матрицы и обозначается

а а,2 ... а,

detA =

Для квадратной матрицы А, определитель которой detA отличен от нуля, существует обратная матрица А , такая, что выполняется условие

А-А = Е,или АА = Е. Если в выражении (В.48) поменять местами строки и столбцы, получится матрица размерами пхт, которая по отношению к матрице (В.48) называется транспонированной и обозначается А. Симметричная матрица А размерами пхп равна своей транспонированной:

А = А\

Сложение и вычитание матриц может быть выполнено с матрицами одинаковых размеров тхп. Суммой (разностью) двух таких матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В:

С = А±В, (В.52)

если с, =а,1 ±А, (/ = l,...,/w; Л = !,..., ).

(В.51)

2 Зак. 16



Суммы матриц обладают следующими свойствами:

А + В = В + А; А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С.

Умножение матрицы на число означает, что каждый элемент этой матрицы умножается на данное число:

(/ = l,...,m; Л = (В.ЗЗ)

Умножение матрицы А порядка (/w х j!?) на матрицу В порядка (j!? х ) осуществимо лишь тогда, когда число столбцов А равно числу строк В. Тогда матрицы А и В называются конформными, и их произведением С = АВ называется матрица размерами

тхп, элемент с, /-й строки и Л:-го столбца которой равен сумме

произведений элементов /-й строки матрицы А на элементы Л:-го столбца матрицы В:

I, (/ = l,...,/w; А: = 1,..., ).

(В.54)

Представим теперь вектор А , определяемый совокупностью п величин а а ( -мерный вектор), в виде вектора-столбца

(В.55)

или матрицы ( W X1). Если компоненты а аз,..., а расположить горизонтально, получим матрицу (1 х п), т. е.

I = [a a2,...,aJ\ (В.56)

Одномерный вектор есть скаляр.

Поскольку все операции над векторами, о которых пойдет речь, можно проводить, лишь пользуясь векторами-столбцами, будем применять термин вектор для величины, заданной формулой (В.55).

Трехмерный вектор А , заданный своими проекция\*и на оси декартовой системы координат, имеет компоненты = А, а2 = А = А и записывается в виде



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

© 2003 - 2024 Prom Izhora
При копировании текстов приветствуется обратная ссылка