А= а

Да вектора А и В одинаковых размеров п равны, если равны их соответствующие элементы:

a,=bi (i = l,...,n).

Сумма двух векторов одинаковых размеров п записывается в соответствии с (В.52), как

А + В

(В.57)

операция сложения векторов обладает свойством коммутативности (как при сложении матриц) и ассоциативности:

А+В=В + А; (В.58)

А+(В + С) = (А+В) + С. (В.59)

Умножение вектора на скаляр осуществляется как умножение матрицы на число, согласно (В.ЗЗ),

CiA = Aci =

(В.60)

Скалярное произведение векторов - это скалярная функция:

(Л,5)* = ХаЛ-. (В.61)

Из (В.61) следуют известные свойства скалярного произведения векторов:

;(1Д)=(5Д); (c,I,S)=c(I,I);

(А+В,С+0) = (А, С) + (В,С) + (А, D) + (S, Я). (В.62)

Здесь использовано обозначение операций для многомерных векторов.

Тогда скалярную величину (АА) можно рассматривать как квадрат длины вещественного вектора.

Два вещественных вектора А и В называются ортогональ-нъшщ если они удовлетворяют соотношению

а,5)=о.

При умножении вектора С на матрицу А имеем

5=АС, (В.63)

где В, С -векторы, связанные, согласно (В.54), соотношением

bitciijCj (/ = !,..., ). (В.64)

В сущности, выражение (В.63) можно рассматривать как операцию преобразования вектора С в вектор В. Если, например, нужно преобразовать один трехмерный вектор С (с проекциями =Ci, Су =2, =Сз) в другой вектор В (В =6 By =63,

В2 = Ьз), то, согласно (В.64), можно записать

*2 = 211 + 222 + 233 у (В.65)

63 =ас+а22 +333-при этом в системе координат Oxyz существует матрица А - тензор второго ранга с элементами aj (/, j = 1,2,3):

п 12 13

(В.66)

21 22 23 К31 32 33;

Тензор А является самостоятельной физической величиной, способной преобразовать один трехмерный вектор в дрзтой в любой координатной системе. Так, вектор главного момента количеств движения Kq твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, определяется через вектор угловой скорости © по известной зависимости

Ко=Ш. (В.67)

где J - тензор инерции тела в точке О, его компонентами являются осевые и центробежные моменты инерции тела относительно осей ОхуОуи Oz:

(В.68)

ВЛ. Связь между проекциями вектора на оси двух прямоугольных систем координат

В евклидовом пространстве ненулевой вектор имеет в общем случае различные проекции на оси двух систем координат с произвольной взаимной ориентацией осей. Покажем, как влияет взаимная ориентация осей прямоугольньк систем координат на связь между двумя вариантами проекций одного и того же вектора. Будем исходить из того, что оба варианта проекций задают один и тот же вектор, т. е., например, для вектора b (рис. В. 17)

Вх1 + ByJ + B2K bj + by] + bjc, (B.69)

где Bj, By, Bz и bj, by, bg - соответственно проекции вектора b на оси двух систем координат; 2iI,J,KHi,j\k - орты рассматриваемых систем координат.

После скалярного умножения обеих частей уравнения (В.69) на орты I, J, К, получим

BxbiTn + byUn-b.ikJ) ; BY=biTj)+by(JJ) + b,(kJ) ; (В.70)

Вг=Ьх(Гк)+Ьу(7к)+Ьг(кК) .

Более компактный вид соотношения (В.70) имеют в векторно-матричной форме записи:

5=А6, (В.71)