равнодействующая повернется в ту же сторону на угол а и будет приложена в той же точке С. Такая точка называется центром системы этих параллельных сил.

Приложим к телу в конкретных точках систему параллельных сил Py,P2,...,Pj ...,Pf. Пусть она имеет равнодействующую

(11.2)

Последовательным сложением всех сил найдем точку С приложения равнодействующей Р . При повороте сил в одну сторону на один и тот же угол равнодействующая повернется на тот же угол, оставаясь приложенной в точке С и параллельной силам

Pj. Точка С приложения равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол называется центром системы параллельных сил.

Найдем координаты центра системы параллельных сил, (рис. 11.2). На основании теоремы Вариньона

Mo(P)-JiMo(P,).

Запишем моменты сил в виде векторных произведений

где г. - радиус-вектор центра системы параллельных сил.

По направлению действия сил введем единичный вектор ё и

приведем полученное векторное равенство к виду

ГсёР = Р г,хё,

ч ы\ ы\ J в этом векторном произведении перемножаемые векторы непараллельны, поэтому

к=\ к=\

В результате получаем формулу для определения положения центра системы параллельных сил в векторной форме

г,.=М-. (11.3)

Записав векторное равенство (11.3) в проекциях на оси координат, находим координаты точки С

с-РЛ1 Jc-fnJf-ZA*- (11-4)

к=\ к=\

В формуле (11.3) выражение /а носит название стати-

ческого момента системы параллельных сш относительно центра О. Этот статический момент равен произведению радиус-вектора i. центра параллельных сил на сумму всех сил, т. е.

к=\ к=\

Точно так же входящее в первое равенство (11.4) выражение

Рл: называется статическим моментом системы парил-лельных сш относительно плоскости Oyz и т. д.

11.2. Центр тяжести твердого тела

На каждую частицу тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действует направленная вертикально вниз сила, которая называется сшой тяжести. Силы тяжести каждой частицы тела, строго говоря, направлены по радиусам к центру Земли и не являются параллельными. Но для тел, размеры которых малы по сравнению с размерами Земли, непараллельность настолько незначительна, что в расчетах с большой точностью силы тяжести их частиц можно считать параллельными, сохраняющими свои значения, точки приложения и параллельность при любых поворотах тела. Поэтому, обозначив силу тяжести частицы через Pf, можно, согласно формулам (11.3) и (11.4), найти точку С, которая неизменно связана с телом и называется центром системы параллельных сил тяжести.

Таким образом, центром тяжести твердого тела называется центр системы параллельных сш тяжести частиц данного тела. Точка С - это геометрическая точка, она может и не принадлежать телу, но она всегда с ним связана, например центр тяжести баскетбольного мяча, кольца и др.

Выразим силу тяжести (вес) частицы тела через ее объем V. Тогда величина

P dP

у - lim -= -

до дк dV

называется >двльньш весом, а величина

9 = 1 Is

- плотностью тела в данной точке. Единицами измерения у и р в СИ будут н/м иНс/м * соответственно.

Для частицы тела будем иметь =У = Vk9kS Подставив эти соотношения в выражения (11.3) и (11.4), получим формулы для д;. и координат центра тяжести: