Рассмотрим равновесие элемента нити CD = dS . Обозначим натяжение нити в точке С через Г , а в точке D через Г,. Натяжение Т считается положительным, если оно совпадает по направлению с положительным направлением S. На элемент CD действуют три силы: натяжение Т в точке С, натяжение Г, в точке D и внешняя сила F dS.

Условие равновесия этого элемента будет: FdS + T +Т=0. Так как Г, = (-Т) + dT , то можно записать

FdS + df = Q,

- dT

(12.1)

Равенство (12.1) выражает уравнение равновесия нити в векторной форме. Представим это уравнение в проекциях на оси прямоугольной системы координат Oxyz. Так как косинусы углов, которые касательная к кривой в точке С{х, у, z) образует с осями

dx dy dz координат, равны -, , -, то аЬ аЬ db

Т =Т dS

т, =т

dS dS dS Тогда для равенства (12.1) будем иметь

. dx dS

dfj,± , dS

+ F=0;

(12.2)

+ F, =0,

dS dS dS dSdS dS

dS dS dS

(12.3)

Этими уравнениями обычно пользуются при решении конкретных задач.

Найдем теперь уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника (т, w, 6 ), построенного в точке С (рис. 12.1, б). Обозначим орты касательной, нормали и бинормали соответственно через т, , 6 . Тогда Г =Гт и

dS dS dS dS

dx d<p n dS~ds ~p

где p - радиус кривизны кривой в точке С и, следовательно,

dS dS р

Векторное уравнение равновесия (12.1) принимает теперь вид

- T + ~wH-F=0. (12.4)

dS р

Для нахождения уравнений равновесия в проекциях на оси естественного трехгранника разложим внешнюю силу F по его осям:

Представим уравнение (12.4) в виде

dT Г г

aS р

Таким образом, уравнения равновесия нити в проекциях на оси естественного трехгранника будут следующими:

= -.. 7 = - . Fb=0. (12.5)

аз р

Видно, что в уравнениях (12.5) производная от натяжения нити по ее длине равна взятой с обратным знаком проекции внешней силы на касательную ось, а произведение натяжения нити в данной точке на кривизну кривой, по которой нить располагается в равновесии, равняется взятой с обратным знаком

проекции внешней силы на главную нормаль. Поскольку = О, то при равновесии нити внешняя сила лежит в соприкасающейся плоскости.

Рассмотрим возможные варианты граничных условий.

1. Пусть к концам нити приложены внешние силы и Ff.

Так как натяжение нити Т направлено всегда по касательной, то на концах нити должно быть

АА = ~А ВВ = В

2. Предположим, что один из концов нити, например А, находится на гладкой поверхности. Тогда реакция поверхности

направлена по нормали к ней, т. е. R =Rn, и на этом конце граничное условие будет следующим:

F,+T,x,+Rn,=0. В частности, если к концу нити не приложена внешняя сила (F =0), то либо =/1 = 0 (конец нити лежит на гладкой поверхности), либо = -R (конец нити перпендикулярен поверхности).

12.2. Частные случаи внешних сил

1. Пусть внешние силы, действующие на нить, параллельны,

т. е. F = FFq , где Fq = const - единичный вектор. Умножив слагаемые дифференциального уравнения равновесия (12.1) вектор-но на Fq , получим

Второй член полученного уравнения равен нулю, так как векторы коллинеарны, следовательно.

Поскольку Fq = const, то d

iT.F,)0,