откуда

Т xFq= const.

Это означает, что под действием параллельных сил нить располагается в плоскости, параллельной силам.

2. Найдем форму нити, которую она будет иметь в состоянии равновесия под действием центральных внешних сил, проходящих через точку О (рис. 12.2).

Рис. 12.2

Умножив слагаемые в уравнении равновесия (12.1) векторно справа на радиус-вектор г, получим:

-хг+ Fxr =0.

dS

Векторы Fur коллинеарны, поэтому Fхг=0 и, следовательно.

dT

-хг = 0.

(12.6)

Преобразуем это уравнение:

dT d - dr

-хг =-(Т хг)-Т x-.

dS dS dS

Так как \dr\=dS, то d r/dS = т . Учитывая, что векторы Гит

коллинеарны, получим

Следовательно, уравнение (12.6) принимает вид

(Г xF) = 0

или после интегрирования

Т хг = const.

Таким образом, под действием центральных сил нить расположится в плоскости, проходящей через центр сил.

12.3. Цепная линия

Найдем форму, которую будет иметь однородная нить в однородном поле силы тяжести (рис. 12.3, а). Обозначим вес единицы длины нити через у - const. Вследствие того, что силы тяжести частиц нити параллельны, нить при равновесии расположена в вертикальной плоскости. Совместим с этой плоскостью координатную плоскость Оху, причем ось Оу направим вертикально вверх. Поскольку в данном случае = 0, F =-у,

уравнения (12.2) равновесия нити примут вид

d (dx . dSj

= 0;

= y.

(12.7)

Из первого уравнения (12.7) следует, что

(12.8)

т. е. проекция силы натяжения нити на ось Ох есть величина постоянная. Из (12.8) имеем

Подставив это выражение во второе уравнение (12.7), получим

d\T

Элементарная длина дуги

dxdSj = ydS.

Следовательно,

(12.9)

Для более компактной записи обозначим dy/dx = р. Тогда уравнение (12.9) примет вид

TQdp = y + pdx. Разделив переменные, получим

i=dx.

или, полагая /у = а,

dp dx

После интегрирования имеем

1п/7 + ф + р = х/а + Ci,