где Cj - постоянная интегрирования.

Проведем ось Оу через ту точку нити, где касательная к ней параллельна оси Ох. В этом случае при у-а jc = 0, р-

dyldx = 0 и Ci =0. Тогда

p + йe\ (12.10)

Для определения р возьмем обратные величины:

Умножив числитель и знаменатель левой части этого уравнения на сопряженное знаменателю число, пол5Д1им

-р + ]й = е\ (12.11)

Вычтя из равенства (12.10) уравнение (12.11), будем иметь

;7 = 0,5(e / -e- / )=sh(jc/). Таккак p = dy/dx=sh(x/a),TO

dy = sb dx.

Интегрируя полученное уравнение, находим

3; = ach(x/a) + C2, где С2 - постоянная интегрирования.

При л: = О, = а, так как ch О = 1, получаем = О и

( X х\

7 7

а 2

(12.12)

Выражение (12.12) является уравнением формы однородной нити, находящейся в равновесии в однородном поле силы тяжести (рис. 12.3, б). Это уравнение называют уравнением цепной линии.

Пример 12.1. Найти форму троса, удерживающего висячий мост, полагая, что вес погонного метра моста постоянен (у = const), мост подвешен к тросу так, что вертикальная нагрузка равномерно распределена по длине проекции троса на горизонтальную ось, а трос нерастяжим (рис. 12.4, а).

Рис. 12.4

Решение. Внешние силы в вертикальной плоскости, в которой расположен трос, параллельны. Направим ось Ох горизонтально, а ось Оу вертикально вверх. Воспользуемся уравнениями равновесия (12.2). На элемент троса dS действует сила ydx, поэтому внешняя сила, действуюш1ая на единицу длины троса, будет F = ydx/dS. Уравнения равновесия (12.2) примут вид

Из первого уравнения получаем

0; d(T]-ydx = 0.

откуда

rf = 7i= const.

Т = П-.

Подставляя полученное выражение для Т во второе уравнение равновесия, находим

dxdSj

ydx.

Полагая Tly = a, имеем

dy 1

откуда после интефирования получаем

Из этого уравнения следует, что трос расположится по параболе, ось которой вертикальна. Если ось Оу провести через вершину параболы, а Ох на расстоянии b ниже этой вершины, то граничные условия для определения произвольных постоянных с, и Сз будут следующими:

;с = 0, dy/cbc = 0; i = 0, y = b.

Тогда С, = О, С2=Ь и уравнение параболы, по которой расположится трос, будет

V =-+ 0.

Пример 12,2, В условиях предыдущей задачи определить натяжение троса в точках/I и Л(рис. 12.4, б).

Решение, С учетом симметрии конструкции (см. рис. 12.4, л), рассмотрим равновесие половины длины троса (рис. 12.4, б). Система внешних параллельных вертикальных сил, действующих на половину троса AM, эквивалентна равнодействующей Р = уАВ/2 , где АВ = 1 - расстояние между опорами. Натяжение троса в точках АиМ обозначим соответственно через и .

Силы Т, Tj , Р , действующие на трос, составляют равновесную систему, т. е.

Откуда следует (рис. 12.4, в)

cosa 2cos а 2

Чем больше угол а , т. е. чем меньше стрела провисания троса по сравнению с расстоянием между опорами, тем больше его натяжение как в точке А, так и в точке М. Если в точке А трос опирается на блок, в оси которого нет трения, то его натяжениена участке АС равно .