Таким образом, четвертая аксиома постулирует принцип суперпозиции сил, или принцип независимого действия. В качестве четвертой аксиомы динамики может быть принята аксиома статики о векторном сложении сил. Тогда принцип независимости действия сил превращается в следствие: для системы сходящихся сил справедливо выражение

Разделив на массу, получаем

=1 к=\

13.2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Из второй и четвертой аксиом следует уравнение движения точки в инерциальной системе отсчета

ma=F, (13.1)

где F = Fi - равнодействующая всех сил, приложенных к точке.

Так как ускорение точки связано с ее радиус-вектором соотношением а -drldt , а сила в рамках классической механики может быть функцией времени, положения и скорости точки, из (13.1) получаем векторное дифференциальное уравнение движения точки

dr - dr

в проекциях на декартовы оси (базис i,j,k) дифференциальные уравнения движения точки имеют вид mxFit,x,y, z,x,y,z); my = Fy(t,x,y,z,x,y,zy, (13.3)

mz = Fit,x, у, z, x, у, z).

m - = F(t,r-). (13.2)

в частных случаях дифференциальных уравнений движения точки может быть меньше. Так, при движении точки в плоскости Оху уравнений движения будет два:

mx = F(t,x,y,x,y); my = Fy{t,x,y,x,y) .

В случае движения точки по прямой будем иметь одно дифференциальное уравнение, например:

mx = F(t,x,x).

В проекциях на естественные оси (базис х,п,Ь) уравнения движения точки имеют вид

m = F,; m - = F ; F,=0, (13.4)

at p

где v =

, =ds/dt, p - радиус кривизны траектории. Первое

уравнение (13.4) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно дуговой (естественной) координаты s, второе уравнение имеет первый порядок, а третье является условием равновесия для проекций сил на бинормаль. Проекции силы могут быть функциями переменных t, s , ds/dt.

В проекциях на оси криволинейной системы координат, например цилиндрической, уравнения движения будут такими:

m(r-r) = F/, m(rii> + 2r(p) = F \ mz = F. (13.5)

13.3. Две основные задачи динамики материальной точки

На основе дифференциальных уравнений движения материальной точки решают две задачи динамики точки.

Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой т определить силу, под действием которой происходит это движение. Часто первую задачу рассматривают как задачу управления движением, в рамсах которой требуется установить характеристики воздействия, обеспечивающие заданный закон движения материальной точки. В зависимости от способа задания движения при решении этой задачи используют соответствующие скалярные уравнения (13.3-13.5).

Пример 13,1. Материальная точка, имеющая массу т, движется в вертикальной плоскости по баллистической траектории

-+ sma

cosa

VoTcosa

в соответствии с уравнениями

x = VoTcosa[l - ехр(-г/т)];

у = -gzt + T(gT + Vq sin a)[l - ехр(-г/т)],

где g, Vq, т - положительные константы, единицы измерения которых м/с ,

м/с несоответственно.

Найти силы, под действием которых происходит движение точки.

Решение. Из приведенных уравнений следует, что точка начинает движение из начала координат (xq = 0, Уо = 0) с начальной скоростью Vq , направленной

под углом а к оси Ох.

Вычисляя производные координат, находим проекции равнодействующей силы

f=mx = -(m/T)voCOsa- ехр(-г/т); Fy=my = -(m/T)(gT +VoSina)exp(-r/T).

Учитывая выражения для проекций скорости точки

V;r = i: = Vq cosa-ехр(-г/т); = у =- + (gT + Vosina)exp(-r/T),

получаем

x = -v; Fy=-mg-\iVy ,

где \i = m/x -константа, Н с/м . Откуда находим

F = FJ + Fyj = -mg j - [l(vj + Vyj) = -mg - [iv .

Таким образом, исходные уравнения описывают движение точки под действием силы тяжести и силы сопротивления, пропорциональной скорости точки.

Вторая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движения. Решение этой задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений второго порядка, в процессе которого в решениях появляются произвольные постоянные, подлежащие определению. Так, в задаче о движении точки в трехмерном пространстве, решаемой на основе дифференциальных уравнений (13.3), общие решения будут содержать шесть произвольных постоянных: